Erwartungswert Formel und Beispiel

Definition: Erwartungswert 

---

Der Erwartungswert ist ein Grundbegriff der Stochastik. 

 

Merkmale:

---

Er wird abgekürzt mit μ. 

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt jene Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. 

Sie ergibt sich bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. 

Der Erwartungswert bestimmt die zentrale Lage der Verteilung der Zufallsvariablen. 

Wenn die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch gleich ist, ist der Erwartungswert mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung identisch. 

Formel:

---

E (X) = Erwartungswert

x_i = Zufallsvariablen

p_i = Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von x_i

∑ = Summenzeichen 

Beispiel 1:

---

Es gibt sechs mögliche Variablenwerte:

x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3, x₄ = 4, x₅ = 5, x₆ = 6

 

Alle sechs möglichen Variablenwerte haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:

p₁ = p₂ = p₃ = p₄ = p₅ = p₆ = 1/6

 

Berechnung des Erwartungswertes:

E(X) = ∑ x_{i *} p_i = x_1 * p₁ + x_{2 *} p₂ + x_{3 *} p₃ + x_{4 *} p₄ + x_{5 *} p₅ + x_{6 *} p₆ 

E(X) = ∑ x_{i *} p_i = 1 * 1/6 + 2 *1/6 + 3 *1/6 + 4 *1/6 + 5 *1/6 + 6 *1/6

E(X) = ∑ x_{i *} p_i = 3,5

A: Der Erwartungswert (durchschnittliche Wert) beim oftmaligen Würfeln beträgt 3,5. 

  

Beispiel 2:

---

1. Schritt: Wir definieren die Variablen

x₁ = – 50 (falls wir verlieren) 

x₂ = + 1 750 (falls wir gewinnen) 

p₁ = 1/37 (nur 1 Fall von 37 Möglichkeiten gewinnen wir)

p₂ = 36/37 (in 36 von 37 Fällen verlieren wir) 

 

2. Schritt: Wir berechnen den Erwartungswert

E(X) = ∑x_{i *} p_i = x_1 * p₁ + x_{2 *} p₂

E(X) = ∑x_{i *} p_i = 1 750 * 1/37 – 50 * 36/37 

E(X) = ∑x_{i *} p_i = – 1,35 €

A: Ein negativer Erwartungswert von – 1,35 € bedeutet, dass wir auf die Dauer nur verlieren würden.  

 

Tests/Videos:

---

Erwartungswert Definition Test

Erwartungswert Formel Test

Würfel Video

 

PDF-Blätter zum Ausdrucken:

---

E (x) Merkblatt

E (x) Übungsblatt