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Binomialverteilung Formel und Beispiel

Definition: Binomialverteilung


Die Binomialverteilung ist eine diskrete, zweiparametrige Verteilung.

Mit ihr wird die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses bei mehrfachen Zufallsexperimenten bezeichnet, deren Ergebnisse nicht vorhersehbar sind: z.B. das Werfen einer Münze

 

Binomialverteilung Formel  

 

Weiters sind nur zwei Ergebnisse möglich, deren Summe stets 1 beträgt.  

Für diese zwei Möglichkeiten gilt:

→ p = Wahrscheinlichkeit eines Treffers (Erfolg)

→ q = 1 – p = ist die Gegenwahrscheinlichkeit eines Treffers (Misserfolg)

 

Eigenschaften einer Binomialverteilung:


1. Jeder Versuch darf nur zwei Ergebnisse haben: z.B. “Treffer” oder “kein Treffer”

2. Die Wahrscheinlichkeit p muss auch bei mehrfacher Ausführung konstant bleiben.

3. Es muss eine festgelegte Anzahl von Versuchen geben. 

4. Die Versuche müssen unabhängig (Bernoulliexperiment) sein.

 

Formel für die Binomialverteilung:


Bernoulli-Kette-Formel  

wobei (n, k ∈ N*)

 

 n über k = gibt die Anzahl der Anordnungen bei einem Versuch an

n = Anzahl der Versuche

k = Anzahl der erfolgreichen Versuche

n – k = Anzahl der nicht erfolgreichen Versuche

p = Wahrscheinlichkeit für einen erfolgreichen Versuch

q = Wahrscheinlichkeit für einen nicht erfolgreichen Versuch

 

Beispiel:


Ein Würfel wird zehn Mal geworfen.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den zehn Würfen genau vier Mal die Zahl 6 geworfen wird?

Anzahl der Würfe: n = 10,

Vier mal eine Sechs zu werfen: k = 4,  

Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu werfen: p = 1/6  

Gegenwahrscheinlichkeit eine Sechs zu werfen 1 – p = q = 5/6     

 

Berechnung des Binomialkoeffizienten 10 über 4:

Der Binomialkoeffizient wird mit Hilfe von Fakultäten berechnet.

 
Binomilkoeffizient  
 

10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 

4! = 4 * 3 * 2 * 1 

 
  10!     = 10 * 9 * 3 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1   =  30 * 7 = 210 
6! * 4!        6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 14 * 3 * 2 * 1         
 
 
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit:

P (4) = 210 * (1/6)4 * (5/6)6

P (4) = 0,05426…   / * 100 

P (4) = 5,43%

A: Die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen 4 Mal eine “Sechs” zu würfeln, beträgt 5,43%. 

 

Videos:


Binomialverteilung Anzahl n berechnen Video

Binomialverteilung Gegenwahrscheinlichkeit Video

Binomialverteilung Übungsbeispiel Video

Binomialverteilung Video

 

PDF-Blätter zum Ausdrucken:


Binomialverteilung Merkblatt

Binomialverteilung Übungsblatt

Bionomialverteilung Aufgabenblatt