Definition Vermessungsaufgaben:
Vermessungsaufgaben sind ein Anwendungsgebiet der Trigonometrie.
Dabei wird entweder die Entfernung und der Höhenunterschied von bestimmten Geländepunkten (Turmspitzen, Bergspitzen, Flussbreiten) oder deren gegenseitige Lage zueinander ermittelt.
Diese Punkte liegen entweder auf der:
a) Horizontalebene: Hier haben alle Messdaten (Punkte) die gleiche Meereshöhe.
b) Vertikalebene: Die Vertikalebene steht auf die Horizontalebene normal (im rechten Winkel).
Abb. Erhöhte Geländepunkte wie Türme spielen bei Vermessungsaufgaben eine große Rolle
Wir unterscheiden folgende Winkel:
Höhenwinkel: Winkel von der Horizontalebene zur Spitze eines Schiffes.
Tiefenwinkel: Winkel von der Spitze des Schiffes zur Horizontalebene.
Parallelwinkel: Höhen- und Tiefenwinkel liegen in der gleichen Vertikalebene und sind gleich groß.
Horizontalwinkel: Winkel zwischen zwei Vertikalebenen in der Horizontalebene
Sehwinkel: Winkel zwischen den Sehstrahlen von zwei einander entfernten Punkten
Böschungswinkel: Steigungswinkel eines Berghanges oder einer Böschung von der Horizontalen gemessen.
Vorgangsweise bei der Berechnung:
1. Wir fertigen eine brauchbare Skizze an!
2. Wir verwenden zur Berechnung Teildreiecke!
3. Wir berechnen Winkel und Seitenlängen mit Hilfe von Winkelsatz, Cosinussatz und Sinussatz
4. Wir berechnen den Flächeninhalt mit Hilfe der Trigonometrischen Flächenformeln.
Beispiel:
Auf einer Anhöhe steht ein 65 m hoher Sendemast .
Vom Standort A aus sieht man den Fußpunkt des Mastes unter α= 16,4°, β = 23,4°.
Wie hoch liegt die Anhöhe?
Vorbemerkung:
Wir berechnen zuerst die fehlenden Winkel: 1., 2., 3., und 4. Schritt. Dann berechnen
wir die Strecke, die beide Teildreiecke gemeinsam haben mit dem Sinussatz: 5. Schritt.
Schlussendlich berechnen wir die gesuchte Größe x mit dem Winkelsatz: 6. Schritt.
1. Schritt: Wir berechnen den Winkel α2
α2 = 23,4° – 16,4°
α2 = 7°
2. Schritt: Wir berechnen den Winkel unterhalb des Fußpunktes
γ1 = 180° – (16,4° + 90°)
γ1 = 73,6°
3. Schritt: Wir berechnen den Winkel γ2 oberhalb des Fußpunktes
γ2 = 180° – 73,6°
γ2 = 106,4°
4. Schritt: Wir berechnen den Winkel ε
ε = 180° – (7° + 106,4°)
ε = 66,6°
5. Schritt: Wir berechnen die Strecke AF mit dem Sinussatz:
65 : sin 7° = AF : sin 66,6°
65 • sin 66,6° = sin 7° • AF / : sin 7°
AF = 489,49 m
6. Schritt: Wir berechnen die Höhe der Anhöhe x mit den Winkelsatz
x = sin 16,4° • 489,49
x = 138,20 m
A: Die Anhöhe liegt auf 138,2 Meter.
Tests:
Vermessungsaufgaben Überblick Test
Vermessungsaufgaben Winkelarten Test
Videos:
Vermessungsaufgaben Übung 1 Video
PDF-Blätter zum Ausdrucken:
Vermessungsaufgaben Übungsblatt 1
Vermessungsaufgaben Übungsblatt 2