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Zentralmaße Überblick

Zentralmaße Überblick:


Mit Zentralmaßen (Mittelwerten) kann man den statistischen Durchschnittswert einer Stichprobe berechnen, oder sie geben ein besonderes Merkmal hinsichtlich des Durchschnitts an (z.B. häufigster Wert, Wert in der Mitte).

Zentralmaße Überblick 

Merkmalsausprägung:


Wir unterscheiden hinsichtlich der Merkmalsausprägung folgende Mittelwerte:

a) Arithmetisches Mittel (Durchschnitt aller Wert)

b) Median (Wert, der in der Mitte steht)

c) Modus (häufigster Wert) 

 

Arithmetisches Mittel:


Das arithmetische Mittel versucht die zentrale Tendenz (Durchschnittswert) eines Datensatzes zu beschreiben. 

Es wird ermittelt, indem man eine Summe der einzelnen Stichprobenelemente bildet und sie durch ihre Anzahl dividiert.

 
AM = Summe  =  x1 + x2 + x3 + …. xn
          Anzahl                        n
 

Beispiel:

Franz fährt in 4 Tagen folgende Strecken:

1. Tag 62 km, 2. Tag 78 km, 3. Tag 42 km, 4. Tag 58 km

Wie viel km fährt er durchschnittlich pro Tag?

 
AM = 62 + 78 + 42 + 58
                   4
 

AM = 240 km : 4 

AM = 60 km 

A: Franz fährt durchschnittlich 60 km am Tag.

 

Median xmed:


Der Median xmed wird auch Zentralwert genannt. 

Er wird aus einer größenmäßig geordneten Stichprobe ermittelt. 

Er ist dort derjenige Wert (Merkmalsausprägung), der genau in der Mitte steht.

Der Median ist unempfindlich gegenüber Extremwerten (statistischen Ausreißern). 

 
a) Bei einer ungeraden Anzahl n ist er der mittlere Wert. 
 
z.B. 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7 
 
b) Bei einer geraden Anzahl n ist er das arithmetische Mittel der beiden Werte in der Mitte: 
 
z.B. 4, 4, 56, 7, 7    d.f.  Median = (5 + 6) : 2 = 5,5
 
 

Modus xmod:


Der Modus xmod ist das Merkmal mit der größten Häufigkeit.

Er wird auch Modalwert genannt.

Als Lageparameter beschreibt er die Tendenz einer Stichprobe (hier Häufigkeit).

Es kann auch mehrere Modi geben, wenn zwei/mehrere verschiedene Merkmale gleich oft am häufigsten vorkommen.

z.B. 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, 9      

d.f. Modus = 4  (Häufigkeit 3) 

 

Quartile:


Quartile teilen die die geordnete Liste in vier gleiche Teile.

Vor dem 1. Quartil (q1) liegen 25% aller Daten der geordneten Liste.

Vor dem 2. Quartil (q2) liegen 50% aller Daten der geordneten Liste.

Vor dem 3. Quartil (q3) liegen 75% aller Daten der geordneten Liste.

Der 2. Quartil ist mit dem Median identisch.

Die Differenz zwischen dem 3. Quartil und dem 1. Quartil wird Quartilsabstand genannt.

 

Skalierbarkeit:


Die Wahl der Lageparameter hängt auch von der Skalierung der Daten ab.

Mittelwerte können nur bei kardinalskalierten (quantitative) Daten eingesetzt werden (z.B. Daten über Temperaturen).

Der Median kann auch für ordinalskalierte (gereihte) Daten verwendet werden (z.B. Schulnoten).

Der Modus (Modalwert) hingegen kann auch für nominalskalierte (keine natürliche Reihenfolge) Daten angewendet werden (z.B.. unterschiedliche Bundesländer).

 

Tests:


Arithmetisches Mittel  Test

Der Median Überblick Test

Der Modus Überblick Test

Mittelwerte Überblick Test

 

Übungsblätter:


Median, Modus und arithmetisches Mittel Übungsblatt

Median, Modus und arithmetisches Mittel Merkblatt