Definition: Satzgruppe von Vieta


Die Satzgruppe von Vieta lässt sich anwenden, wenn die quadratische Gleichung in der Normalform gegeben ist x² + px + q = 0 in ℝ und zwei Lösungen oder eine Doppellösung beinhaltet.

Satzgruppe von Vieta

 

Funktion:


Die Satzgruppe von Vieta ermöglicht es, dass bei einer gegebenen Teillösung die andere Teillösung gefunden oder die gesamte Gleichungsform aufgestellt werden kann.

Der Satz von Vieta stellt einen Zusammenhang her zwischen p und q und den Lösungen der Gleichungen: x1 und x2.

Beinhaltet die Gleichungsform keine Lösungen in ℝ, so bezeichnet man diesen Term als irreduzibel über ℝ.

 

Formeln:


1. Die Summe der Teillösungen x1, x2 hat den gleichen Betrag aber mit entgegengesetzten Vorzeichen wie p.

Satzgruppe von Vieta Formel Summe
 

2. Das Produkt der Teillösungen x1, x2 ist gleich der Konstante q.

Satzgruppe von Vieta Formel Produkt

 
3. Das Gleichungssystem x² + px + q = 0 in ℝ lässt sich in zwei Linearfaktoren aufteilen.
 
Satzgruppe von Vieta Gleichungssystem   
 

Beispiel:


gegeben: x1 = 3, p = 2  der Gleichung x² + px + q = 0 in ℝ

gesucht:  x2, q, vollständige Gleichung
 
Lösung:

1. Schritt: Berechnung von x2

x1 + x2 = - p

+3 + x2 = - 2    / - 3

x2 = - 5

 

2. Schritt: Berechnung von q

x1 • x2 = q

+3 • (- 5) = q

q = - 15

 

3. Schritt: vollständige Gleichung

x² + px + q = 0

x² + 2x - 15 = 0

 

4. Schritt: Probe

(x - x1) • (x - x2) = 0

(x - (+3)) • (x - (- 5)) = 0

(x - 3) • (x + 5) = 0

x² - 3x + 5x - 15 = 0

x² + 2x - 15 = 0

 

PDF-Blätter zum Ausdrucken:


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Satzgruppe von Vieta Aufgabenblatt 1

Satzgruppe von Vieta Aufgabenblatt 2

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Satzgruppe von Vieta Überblick Übungsblatt