Definition: Ergänzungsmethode
Bei der Methode des Ergänzens auf ein vollständiges Quadrat, wird die linke Seite der Gleichung zum dreigliedrigen Ergebnis einer binomischen Formel umgeformt.
Durch die anschließende Rückführung auf eine binomische Formel, das Wurzelziehen und Umformungen werden die beiden Lösungen berechnet.
Vorgangsweise:
1. Schritt: die Konstante wird auf die rechte Seite gebracht.
2. Schritt: Das dritte fehlende Glied der binomischen Formel = b² wird berechnet
3. Schritt: b² wird auf beiden Seiten addiert.
4. Schritt: Rückführung auf eine binomische Formel
5. Schritt: Berechnung von x1 und x2
6. Schritt: Probe
Beispiel:
gegeben: x² – 12x + 20 = 0 Grundmenge: ℝ
gesucht: x1 und x2
x² – 12x + 20 = 0 / – 20
x² – 12x = – 20
a² – 2 • a • b + b² = – 20 + b²
x² – 12x = – 20
1. Wir bestimmen a laut Angabe
a = 1 weil √a² = √1 = 1
2. Wir setzen das Mittelstück der binomischen Formel gleich den angegebenen – 12
– 2 • a • b = – 12
3. Wir berechnen b
– 2 • 1 • b = – 12
– 2b = – 12 / : (-2)
b = 6
4. Wir bestimmen b² indem wir b quadrieren
b² = (6)² = 36
a² – 2ab + b² = – 20 + b²
x² – 12x + 36 = – 20 + 36
x² – 12x + 36 = – 20 + 36
x² – 12x + 36 = + 16
(x – 6)² = 16
(x – 6)² = 16 / √
x – 6 = +/- 4
d.f. x1 : x – 6 = – 4 /+ 6 ⇒ x1 = 2
d.f. x2: x – 6 = + 4 /+ 6 ⇒ x2 =10
L = {2; 10}
(x – x1) * (x – x2) = 0
(x – 2) * (x – 10) = 0
x² – 2x – 10x + 20 = 0
x² – 12x + 20 = 0