Definition Logarithmus:


Mit dem Logarithmus können wir in einer Gleichung die Unbekannte berechnen, wenn sie im Exponenten steht.

Anders formuliert ist der Logarithmus von b zur Basis a jener Exponent, mit dem man a potenzieren muss um b zu erhalten.

Kurzform: a log b = Logarithmus von b zur Basis a

Formel Logarithmus:


 

Erklärung:

a = Basis      

b = Numerus     

x = Unbekannte   

Die Gleichung ax = b und für die gilt  a ∈ ℝ+ \ {1}, b ∈ ℝ+ besitzt genau 1 Lösung. 

 

Beispiel für die Berechnung:


Beispiel:

 2log 8 =

 

1. Schritt: exponentielle Form anschreiben 

2x = 8

2. Schritt: den Numerus auf die gleiche Basis umwandeln (hier 2):

2x = 23    

3. Schritt: Aus den Exponenten die Lösung ablesen (hier x = 3)

x = 3   d.f.    2log 8 = 3

 

Besondere Logarithmen:


a) Logarithmus mit der Basis 10

Der Logarithmus wird abgekürzt angeschrieben:

aus 10lg b  ⇔ lg b

 

b) Logarithmus mit der Basis e (natürlicher Logarithmus)

Auch dieser Logarithmus wird abgekürzt angeschrieben:

aus elg b  ⇔ ln b

 

Umwandlung von Logarithmen:


Muss ein Logarithmus umgewandelt werden z.B. Basis 2 auf Basis 10 (bzw. natürlicher Logarithmus) so ist folgende Formel anzuwenden:

alog x =  1      * log x        oder    alog x =  1      * ln x
             log a                                             ln a
 

Beispiel:

2log 3  =

2log 3  = 1/log2 * log 3 

2log 3 = 1,584..

 

Rechenregeln fürs Logarithmieren und Entlogarithmieren:


1. Regel: alog (u * v) = alog u + alog v

Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren.

Beispiel: log 2x = log 2 + log 2x

 

2. Regel:  alog (u : v) = alog u - alog v

Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Dividend und Divisor.

Beispiel: log 2 : x = log 2 - log 2x

 

3. Regel:  alog ur = r * alog u

Eine Potenz wird logarithmiert, indem man den Exponenten mit dem zugrunde liegenden Logarithmus multipliziert.

Beispiel: log x³ = 3 * log x

 

4. Regelalog  r√u = 1/r * alog u

Eine Wurzel wird logarithmiert, indem man sie in die Exponentenschreibweise überführt und den Exponenten dann mit  dem zugrunde liegenden Logarithmus multipliziert.

Beispiel: log ³√x  = x1/3 = 1/3 * log x