Definition: Geometrische Folge
Eine Zahlenfolge an heißt geometrische Folge, wenn der Quotient von je zwei aufeinander folgender Glieder konstant ist.
Diese Glieder sind verschieden von 0 und besitzen für alle n ∈ N den gleichen Wert q.
Die Variable q wird Quotient der geometrischen Folge genannt.
Quotient q:
Der Quotient q wird folgendermaßen berechnet:
q = bn + 1 / bn
Erklärung:
q = Quotient zwischen zwei geometrischen Folgen
bn = beliebige geometrische Folge
bn + 1 = nächsthöhere geometrische Folge
Termdarstellung der geometrischen Folge:
Jede geometrische Folge kann als eine auf N definierte Exponentialfunktion interpretiert werden.
Die Formel für die Berechnung des n-ten Gliedes lautet:
bn = b1 • qn-1
Erklärung:
bn = gesuchte geometrische Folge
b1 = erste geometrische Folge
n = Anzahl der Glieder einer geometrischen Reihe
q = Quotient zwischen zwei geometrischen Folgen
Eigenschaften geometrischer Folgen:
Hinsichtlich der Formel gilt, wenn b1 > 0
a) q > 1 d.f. streng monoton steigend
b) q = 1 d.f. konstant
b) q < 1 d.f. streng monoton fallend
d) q < 0 d.f. nicht monoton
Beispiel einer geometrischen Folge:
b1 = 5 und q = 3
Berechne b5 und b12
Lösung:
bn = b1 * qn-1
b5 = 5 + 35-1
b5 = 5 + 34
b5 = 86
A: Das 5. Glied dieser geometrischen Folge ist 86.
Lösung:
bn = b1 • qn-1
b12 = 5 + 312-1
b12 = 5 + 311
b12 = 177 152
A: Das 12. Glied dieser geometrischen Folge ist 177 152.
Geometrisches Mittel:
Jedes Glied ist ab dem zweiten Glied das geometrische Mittel der Nachbarglieder.
Formel:
bn = √ (bn-1 • bn+1)
Beispiel:
b1 = 2, b3 = 18
d.f. b2 = √ (2 • 18)
b2 = 6
Tests:
Geometrische Folge Definition Test
Geometrische Folge Termdarstellung Test
PDF-Blätter zum Ausdrucken:
Geometrische Folge Aufgabenblatt
Geometrische Folge Textaufgaben Übungsblatt