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Geometrische Folge – konstanter Quotient

Definition: Geometrische Folge


Eine Zahlenfolge an heißt geometrische Folge, wenn der Quotient von je zwei aufeinander folgender Glieder konstant ist.

Geometrische Folge

Diese Glieder sind verschieden von 0 und besitzen für alle n ∈ N den gleichen Wert q. 

Die Variable q wird Quotient der geometrischen Folge genannt. 

 

Quotient q:


Der Quotient q wird folgendermaßen berechnet:
 
q = bn + 1 / bn
       

Erklärung:
 
q = Quotient zwischen zwei geometrischen Folgen
 
bn = beliebige geometrische Folge
 
bn + 1 = nächsthöhere geometrische Folge

 

Termdarstellung der geometrischen Folge:


Jede geometrische Folge kann als eine auf N definierte Exponentialfunktion interpretiert werden. 

Die Formel für die Berechnung des n-ten Gliedes lautet: 

 
bn = b1 • qn-1

 
 
Erklärung:
 
bn = gesuchte geometrische Folge
 
b1 = erste geometrische Folge
 
n = Anzahl der Glieder einer geometrischen Reihe
 
q = Quotient zwischen zwei geometrischen Folgen
 

Eigenschaften geometrischer Folgen:


Hinsichtlich der Formel gilt, wenn b1 > 0   

a) q > 1 d.f. streng monoton steigend

b) q = 1 d.f. konstant 

b) q < 1 d.f. streng monoton fallend 

d) q < 0 d.f. nicht monoton

 

Beispiel einer geometrischen Folge:


b1 = 5 und q = 3   
 
Berechne b5 und b12
 
Lösung:
 
bn = b1 * qn-1
 
b5 = 5 + 35-1
 
b5 = 5 + 34
 
b5 = 86

 
A: Das 5. Glied dieser geometrischen Folge ist 86.
 
Lösung:
 
bn = b1 qn-1
 
b12 = 5 + 312-1
 
b12 = 5 + 311
 
b12 = 177 152

 
A: Das 12. Glied dieser geometrischen Folge ist 177 152.

 

Geometrisches Mittel:


Jedes Glied ist ab dem zweiten Glied das geometrische Mittel der Nachbarglieder.
 
Formel:
 
bn = √ (bn-1 • bn+1)
 
Beispiel:
 
b1 = 2, b3 = 18
 
d.f. b2 = √ (2  18)
 
b2 = 6