Faktorisieren von Termen

Definition: Faktorisieren von Termen

Unter dem Faktorisieren von Termen versteht man das Herausheben gemeinsamer Faktoren.

Es gilt die Umkehrung des Verteilungsgesetzes!

Herausgehoben werden können: gleiche Zahlen, Variablen oder Binome.

Abb. gleiche Elemente (hier Farben) erkennen und herausheben

In anderen Worten – durch das Faktorisieren wird ein Term, der eine Summe oder eine Differenz darstellt, in ein Produkt umgewandelt.

Dieses Umwandlung erfolgt durch das Ausklammern.

Wir können immer dann Ausklammern, wenn in allen Gliedern einer Summe oder Differenz ein gemeinsamer Faktor vorhanden ist.

Vor der Klammer stehen die gemeinsamen herausgehobenen Elemente, in der Klammer stehen die nicht gemeinsamen Elemente oder der Platzhalter 1.

z.B. 4xz + 8xy = 4x (z + 2y)

gemeinsame Elemente vor der Klammer 4 und x

nicht gemeinsamen Elemente in der Klammer z und 2y

Beispiele:

4x – 4 = 4 * (x – 1)

8x – 12y = 2*4x – 3*4y = 4 * (2x – 3y)

Beispiele:

xy – y = y * (x – 1)

x²y – xy² = xxy – xyy = xy * (x – y)

Beispiel:

(4x – y) * (7x + 2) + (4x – y) * (5x + 6) =

(4x – y) * [(7x + 2) + (5x + 6)] =

(4x – y) * [7x + 2 + 5x + 6] =

(4x – y) * [12x + 8]

2 * (a – b) – c * (b – a) =

Um hier eine gemeinsame Klammer herausheben zu können, müssen wir die Vorzeichen in der 2. Klammer ändern, indem wir – 1 herausheben.

Dadurch erhalten wir identische Klammerausdrücke (Binome):

2 * (a – b) – c * (- 1) * (- b + a) =

2 * (a – b) + c * (a – b) =

Jetzt können wir wieder die gemeinsame Klammer herausheben:

(a – b) * (2 + c)