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Der Quader | Formeln, Eigenschaften und Beispiele

Der Quader | Formeln, Eigenschaften und Beispiele


Quader | Formeln, Eigenschaften und Beispiele

Hier findest du einen Ãœberblick Geometrie zu: Der Quader | Formeln, Eigenschaften & Beispiele

Ein Quader ist eine dreidimensionale Darstellung eines Rechtecks.

Lernmaterialien: 10 Fragen | Aufgaben | Aufgaben 2 | Übungen | Übungsblätter

 

Formeln:

Quader Formeln allgemein

Oberfläche allgemein: O = 2 • GF + M 


Volumen allgemein: V = Gf • h


Mantel allgemein: M = UG • h

Quader Formeln speziell

Oberfläche: O = (a • b + a •  h + b • h) • 2   


Volumen: V = a • b • h


Mantel: M = 2 • (a + b) • h


Grundfläche: Gf = a • b


Umfang Grundfläche: UG = (a + b) • 2


Gesamtkantenlänge: GK = 4 • (a + b + h)

Pythagoras:

Quader Formeln Pythagoras

Flächendiagonale 1: dF1 = √ (a² + b²)  


Flächendiagonale 2: dF2 = √ (a² + h²)


Flächendiagonale 3: dF3 = √ (b² + h²)


Raumdiagonale: dR = √ (a² + b² + h²)

Eigenschaften:

Eigenschaften Fläche

Ein Quader ist ein Körper mit besonderen Eigenschaften:


Ein Quader ist ein Körper mit einer rechteckigen Grundfläche.


Ein Quader besteht aus 6 Begrenzungsflächen (Rechtecke), von denen jeweils 2 gleich groß sind.


Gegenüberliegende Begrenzungsflächen eines Quaders sind kongruent (deckungsgleich).

Eigenschaften Kanten

Ein Quader hat 12 Kanten, von denen jeweils 4 gleich lang und parallel sind.


Alle Kanten eines Quaders stehen senkrecht im rechten Winkel aufeinander.


Die Kanten a und b definieren die Grundfläche, die Kante h, die Ausdehnung im Raum (Höhe).

Diagonalen/Symmetrie

Der Quader verfügt über 12 Flächendiagonalen von denen jeweils vier Diagonalen gleich lang sind.


Der Quader hat 4 Raumdiagonalen, die alle gleich lang sind und sich in einem Punkt treffen.


Dieser Schnittpunkt der Raumdiagonalen ist der Mittelpunkt des Quaders und sein Symmetriezentrum. 


Der Quader verfügt über drei Symmetrie-Ebenen und drei Symmetrie-Achsen. 

Formeln Umkehraufgaben:

Quader Umkehraufgaben 1

Oberfläche: O = 2 • Gf + M

⇒ Gf = (O - M ) : 2

⇒ M = O - 2  • Gf

 
Volumen: V = a • b • h

⇒ a = V : (b • h)

⇒ b = V : (a • h)

⇒ h = V : (a • b)
 
Mantel: M = UG • h

⇒  UG = M : h

⇒  h = M : UG

Quader Umkehraufgaben 2

Grundfläche: Gf = a • b

⇒ a = Gf : b

⇒ b = Gf : a

 
Umfang: UG = (a + b) • 2

⇒ a = UG : 2 - b

⇒ b = UG : 2 - a


Gesamtkantenlänge: GK = 4 • (a + b + h) 

⇒ a = GK : 4 - b - c 

⇒ b = GK : 4 - a - c

⇒ h = GK : 4 - a - b

Beispiel:

Beispiel Aufgabe:

Quadrat Beispiel

Quader a = 2,4 cm, b = 3,1 cm, h = 4,5 cm

a) Oberfläche (cm²)  

b) Volumen (cm³)

c) Flächen- und Raumdiagonalen (cm) 

Beispiel Lösung 1

a) Rechnung Oberfläche:

O = (a • b + a • h + b • h) • 2

O = (2,4 • 3,1 + 2,4 • 4,5 + 3,1 • 4,5) • 2

O = 64,38 cm²

A: Der Quader hat eine Oberfläche von 33,48 cm².


b) Rechnung Volumen:

V = a • b • h

V = 2,4 • 3,1 • 4,5

V = 96,57 cm³

Antwortsatz: Der Quader hat ein Volumen von 96,57 cm³.

Beispiel Lösung 2

c) Flächendiagonale 1:

dF1 = √ (a² + b²)

dF1 = √ (2,4² + 3,1²)

dF1 = 3,92 cm

 
c) Flächendiagonale 2:
dF2 = √ (b² + h²)

dF2 = √ (3,1² + 4,5²)

dF2 = 5,46 cm
 

c) Flächendiagonale 3:

dF3 = √ (a² + h²)

dF3 = √ (2,4² + 4,5²)
dF3 = 5,1 cm


c) Raumdiagonale: dR

dF3 = √ (a² + b² + h²)

dF3 = √ (2,4² + 3,1² + 4,5²)

dF3 = 5,97 cm