Search
Close this search box.
Search
Close this search box.

Ungleichungen Überblick

Definition: Ungleichungen


Unter einer Ungleichung versteht man die Ungleichheit zweier Terme, die durch die Vergleichszeichen in eine Beziehung gesetzt werden z.B. Term 1 < Term 2 
 
Ungleichungen Überblick
 

Lösungsmenge:


Die Menge aller Zahlen, die Bestandteile der Grundmenge sind und die Ungleichung in eine wahre Aussage überführen, bilden die Lösungsmenge.

 

Beschreibendes und aufzählendes Verfahren:


a) Beschreibendes Verfahren:  hier wird die Lösung als Eigenschaft angegeben

z.B. L = {x | x < 3}    

Die Lösung beinhaltet alle natürlichen Zahlen die kleiner sind als 4 

 

b) Aufzählendes Verfahren: hier wird die Lösung als Teilmenge der Grundmenge in Zahlen angegeben

z.B. L = {0, 1, 2, 3}  

Die Lösung beinhaltet die Zahlen, 0, 1, 2, und 3

 

Vergleichszeichen:


Wir unterscheiden dabei folgende Vergleichszeichen:

“<”  = kleiner              

Beispiel:  x < 4   Grundmenge = ℕ    

L = {0, 1, 2, 3}

 

“≤”  = kleiner gleich    

Beispiel:  x ≤  4  Grundmenge = ℕ    

L = {0, 1, 2, 3, 4}

 

“>”  = größer

Beispiel:  x > 4   Grundmenge = ℕ    

L = {5, 6, 7, 8, …}

 

“≥”  = größer gleich    

Beispiel   x ≥ 4   Grundmenge = ℕ    

L = {4, 5, 6, 7, 8, …}

 

Ermittlung der Lösungsmenge:


Die Lösungsmenge wird mittels Äquivalenzumformungen ermittelt.

Es gelten die gleichen Gesetze wie bei den Gleichungen außer bei der Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl.

Hier wird aus “<” ein “>” und umgekehrt und aus “≤” ein “≥”.

z.B. – 2x  < – 8    / : (- 2) 

d.f.  x > 4

 

Probe einer Ungleichung:


Die ermittelte Lösungen werden in die Grundungleichung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es eine wahre Aussage ergibt. 

x < 4 

Wir setzen den Wert 2 ein:  d.f.   2 < 4  w.A.

Wir setzen den Wert 4 ein:  d.f.   4 < 4  f.A.

 

Beispiel:


2x – 10 < 4    Grundmenge: ℕ

Lösungsmenge: aufzählendes Verfahren

1. Schritt: Die Zahl, die neben dem x steht, muss weg!

2x – 10 < 4   / + 10 

2x – 10 + 10 < 4 + 10

2x < 14   

 

2. Schritt: Wir dividieren durch die Zahl, die vor dem x steht!

2x < 14      / : 2

2x : 2 < 12 : 2

x < 6 

d.f. L = {0,1,2,3,4,5}

 

3. Schritt: Stichprobe mit 3

2 * 3 – 10 < 4

6 – 10  < 4

– 4 < – 4 w.A.