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Gleichungen | Lösungen und Lösungsmenge

Gleichungen | Lösungen und Lösungsmenge: 


Lösen von Gleichungen

Hier erhältst du einen Überblick über: Gleichungen | Lösungen und Lösungsmenge

Die Menge aller Zahlen, die Bestandteil der Grundmenge sind und die Gleichung in eine wahre Aussage überführen, bilden die Lösungsmenge. 

Weiteres Übungsmaterial: Übungen | Aufgaben | Übungsblatt | Merkblatt | Überblick

 

Unter einer Gleichung versteht man die Gleichheit zweier Terme, die durch das Gleichheitszeichen (=) in eine Beziehung gesetzt werden.

 

Term 1 = Term 2

Beispiel: 4x + 2 = 8

Die Menge aller Zahlen, die Bestandteil der Grundmenge sind und die Gleichung in eine wahre Aussage überführen, bilden die Lösungsmenge. 

Die Lösungsmenge wird mittels Äquivalenzumformungen ermittelt.

 

Lösen einer Gleichung: 


Die Gleichung enthält eine Variable (Platzhalter).  

Für diese muss die Zahl gefunden werden, die die Gleichheit der Terme erfüllt. 

z.B.   4 + x = 12     G = ℕ (Natürliche Zahlen) 

x = 8    

Wenn wir für x den Wert 8 einsetzen, sind beide Terme gleich.

 

Lösungsmenge einer Gleichung:


Die Menge aller Zahlen, die Bestandteile der Grundmenge sind und die Gleichung in eine wahre Aussage überführen, bilden die Lösungsmenge.

Diese wird in einer geschwungenen Klammer angeschrieben. 

Beispiel:

x = 8       

8 ist Bestandteil der Grundmenge der natürlichen Zahlen (ℕ)

d.f.   L = {8}

 

Arten von Lösungsmengen:


a) Genau eine Zahl ist Teil der Lösungsmenge:  

    z.B. x = 4 d.f. L = {4} 

 

b) Keine Zahl ist Teil der Lösungsmenge:  

    z.B. 4 = 9  d.f. L = {}

 

c) Alle Zahlen sind Teil der Lösungsmenge:  

    z.B.4 = 4  d.f. L = {Definitionsmenge}

 

Ermittlung der Lösungsmenge:


Die Lösungsmenge wird mittels Äquivalenzumformungen ermittelt:

z.B. 4 + x = 12    / – 4 

4  – 4 + x = 12 – 4   (Wir subtrahieren auf beiden Seiten – 4)

x = 8

 

Probe einer Gleichung:


Die ermittelte Lösung wird in die Grundgleichung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es eine wahre Aussage ergibt.

Vom vorigen Beispiel nehmen wir die Lösung 8 und setzen diese statt dem x in die Gleichung ein. 

4 + x = 12    

4 + 8 = 12 

12 = 12 w.A. 

 

Beispiel für eine Gleichung:


8x – (4 + 2x) = 4x – (5 – 3x)         

1. Schritt: Klammer auflösen:

8x – 4 – 2x = 4x – 5 + 3x  

 

2. Schritt: Zusammenfassen

6x – 4 = 7x – 5 

 

3. Schritt: Äquivalenzumformung das kleinere x muss weg

6x – 4 = 7x – 5   / – 6x 

 4 = x – 5     

 

4. Schritt: Äquivalenzumformung die Zahl neben dem x muss weg

– 4 = x – 5     / + 5 

1 = x    d.f. L = {1}

 

5. Schritt: Probe

8 • 1 – (4 + 2 • 1) = 4 • 1 – (5 – 3 • 1

8 – (4 + 2) = 4 – (5 – 3) 

8 – (6) = 4 – (2)

2 ist gleich 2 w.A.