Gleichungen mit binomischen Formeln:
Befinden sich in einer Gleichung Klammerterme mit binomischen Formeln zum Ausmultiplizieren, so hat dies Vorrang vor den Äquivalenzumformungen.
Reihenfolge der Rechenschritte:
1. Ausmultiplizieren der binomischen Formeln
2. Zusammenfassen der Variablen und Zahlen pro Seite
3. Äquivalenzumformungen bis die gesuchte Variable (x) alleinsteht
Auflösen der binomischen Formeln:
1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel: (a – b)² = a² – 2ab + b²
3. Binomische Formel: (a – b) • (a + b) = a² – b²
Beispiel:
x (x + 5) = (x + 2)²
Grundmenge: ℕ (Natürliche Zahlen)
Lösung:
1. Schritt: Klammern auflösen (Binomische Formeln)
x (x + 5) = (x + 2)²
x² + 5x = x² + 4x + 4
2. Schritt: Wir eliminieren x²
x² + 5x = x² + 4x + 4 / – x²
x² – x² + 5x = x² – x² + 4x + 4
5x = 4x + 4
3. Schritt: Das kleinere x muss weg!
5x = 4x + 4 / – 4x
5x – 4x = 4x – 4x + 4
x = 4
4. Schritt: Wir bestimmen die Lösungsmenge
L = {4}
Begründung: Die berechnete Lösung für die Variable x ist Bestandteil der Grundmenge ℕ.
5. Schritt: Probe
Wir setzen für x die Lösungszahl 4 ein!
4 • (4 + 5) = (4 + 2)²
4 • (9) = 6²
36 ist gleich 36 w.A.