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Rechtwinkliges Dreieck đź“Ś Formeln, Eigenschaften & Beispiele

Rechtwinkliges Dreieck:


rechtwinkliges Dreieck

 

Hier findest du die Lerneinheit: Rechtwinkliges Dreieck đź“Ś Formeln, Eigenschaften & Beispiele

Das rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel (90°).

Bezeichnungen: Hypotenuse: c, Katheten a und b, Hypotenusenabschnitte: p und q und die Höhe h.

 

Formeln:


Flächeninhalt: A = a • b : 2 

Flächeninhalt mit hc: A = c • hc : 2

Umfang: U = a + b + c

Umkreisradius: R  = c : 2

Inkreisradius: r = (a • b) : U

Winkelsumme: α + β + γ = 180°

 

Pythagoras:


Hypotenuse c² = a² + b²

Kathete a² = c² – b²

Kathete b² = c² – a²

Höhensatz: h² = p • q

Kathetensatz a: a² = c • p 

Kathetensatz b: b² = c • q

 

Eigenschaften:


Eigenschaften Fläche:

Ein rechtwinkliges Dreieck ist eine Fläche mit drei Seiten und drei Winkeln.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein halbes Rechteck.

 

Eigenschaften Winkel:

Das rechtwinklige Dreieck besitzt einen Winkel gamma (γ) mit 90°.

Die Winkel alpha (α) und beta (β) ergeben zusammen 90° (Komplementärwinkel).

Jeder Winkel im Halbkreisbogen ist ein rechter Winkel.

 

Eigenschaften Pythagoras:

Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse.

Die den rechten Winkel einschließenden Seiten heißen Katheten. 

Die Fläche der beiden Kathetenquadrate ist gleich groß wie das Hypotenusenquadrat.

 

Eigenschaften merkwĂĽrdige Punkte:

Der Umkreismittelpunkt liegt im Halbierungspunkt der Seite c. 

Der Höhenschnittpunkt liegt im Scheitelpunkt des rechten Winkels.

Der Schwerpunkt ist der Gleichgewichtspunkt des rechtwinkligen Dreiecks.

Der Inkreismittelpunkt wird mit den Winkelsymmetralen der drei Innenwinkel gebildet.

 

Eigenschaften Flächeninhalt und Umfang:

Der Flächeninhalt wird berechnet, indem wir das Produkt der beiden Katheten halbieren. 

Der Umfang wird berechnet, indem wir alle drei Seitenlängen addieren. 

  

Formeln Umkehraufgaben:


Flächeninhaltsformel: A = a • b : 2

⇒ a = 2 • A : b

⇒ b = 2 • A : a

 

Flächeninhaltsformel: A = c • hc : 2

⇒ c = 2 • A : hc

⇒ hc = 2 • A : c

 

Umfang: U = a + b + c

⇒  a = U – b – c

⇒  b = U – a – c

⇒  c = U – a – b

 

Umkreisradius: R = c : 2

⇒ c = 2 • R

 

Inkreisradius: r = (a • b) : U

⇒ a = r • U : b

⇒ b = r • U : a

 

Winkelsumme: α + β + γ = 180°

⇒ α = 180° –  β – γ 

⇒ β = 180° –  α – Îł

⇒ Îł = 180° –  α – β

  

Beispiel:


gegeben: rechtwinkliges GrundstĂĽck mit a = 36 m, b = 48 m und c = 60 m

gesucht a) Flächeninhalt   b) Umfang

a) Flächeninhalt:

A = a • b : 2

A = 36 m • 48 m : 2

A = 864 m²

A: Der Flächeninhalt beträgt 864 m².

 

b) Umfang:

U = a + b + c

U = 36 m + 48 m + 60 m

U = 144 m

A:  Der Umfang beträgt 144 m.

Weitere Aufgaben:


Aufgabe 1  Lösung 

Wiese in Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit a = 26 m, b = 49 m und c = 55,5 m. 

Fragestellung: a) Flächeninhalt (m²)   b) Umfang  (m)

 

Aufgabe 2  Lösung

a) gegeben: alpha = 28°, gesucht beta und gamma 

b) gegeben: beta = 55°, gesucht alpha und gamma 

 

Aufgabe 3  Lösung

Rechtwinkliges Dreieck mit A = 258 m², b = 21,5 m und c = 32,2 m

Fragestellung: a) Seitenlänge a  (m)   b)  Höhe hc ( m)  

 

rechtwinkliges Dreieck Ăśbungen:


 

rechtwinkliges Dreieck Videos


 

PDF-Blätter zum Ausdrucken: