Gleichseitiges Dreieck:
Hier findest du die Lerneinheit: Gleichseitiges Dreieck | Formeln, Eigenschaften & Beispiele
Das gleichseitige Dreieck ist ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten sowie drei gleichen Winkeln von jeweils 60°.
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Formeln:
Flächeninhalt 1: A = a² : 4 • √3
Flächeninhalt 2: A = a • ha : 2Â
Höhe: ha = a : 2 • √3Â
Umfang: U = 3 • a
Inkreis r = ha • 1/3
Umkreis R = ha • 2/3Â
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Eigenschaften:
Fläche/Winkel:
Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang.
Die drei Innenwinkel betragen jeweils 60° (α = β = γ).
Bezeichnungen: Seiten: a = b = c, Winkel: α (alpha), β (beta) und γ (gamma), r = Inkreisradius, R = Umkreisradius
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Symmetrieachsen:
Das gleichseitige Dreieck verfügt über 3 Symmetrieachsen.Â
Die vier merkwürdigen Punkte (H = I = U = S) fallen alle im Mittelpunkt zusammen.
Jede Symmetrieachse teilt das gleichseitige Dreieck in jeweils zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.
Der Mittelpunkt teilt die ihn bildenden Strecken im Verhältnis 2 : 1.
Das gleichseitige Dreieck verfügt über einen In- und Umkreis.Â
Der Inkreis beträgt 1/3 der Höhe ha und der Umkreis beträgt 2/3 der Höhe ha.
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Umfang und Flächeninhalt:
Der Umfang wird berechnet, indem wir alle drei Seiten addieren.Â
Der Flächeninhalt wird berechnet, indem wir das Produkt von Basis und Höhe halbieren. Â
Formeln Umkehraufgaben:
Flächeninhalt: A = a² : 4 • √3
⇒ a = √(4 • A : √3)
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Flächeninhalt: A = a • ha : 2Â
⇒ a = 2 • A : haÂ
⇒ ha = 2 • A : a
Â
Formel für die Höhe: ha = a/2  • √3Â
⇒ a = 2 • ha : √3
Â
Formel für den Umfang: U = 3 • a
⇒ a = U : 3
Â
Formel für den Inkreis: r = ha • 1/3
⇒ ha = 3 • r
Â
Formel für den Umkreis: R = ha • 2/3Â
⇒ ha = 3 • R : 2Â
Beispiel:
Gleichseitiges Dreieck a = 4,5 cmÂ
gesucht:
a) die Höhe ha = ? Â
b) Flächeninhalt A = ?Â
c) Umfang U = ?Â
a) Höhe ha:
ha = a : 2 • √3
ha = 4,5 : 2 • √3  Â
ha = 3,90 cm Â
A: Die Höhe ha beträgt 3,90 cm.Â
Â
b) Flächeninhalt:
A = a² : 4 • √3      Â
A = 4,5² : 4 • √3
A = 8,77 cm²  Â
A: Der Flächeninhalt beträgt 8,77 cm².
Â
c) Umfang
U = 3 • a
U = 3 • 4,5Â
U = 13,5 cm
A: Der Umfang beträgt 13,5 cm. Â
Weitere Beispiele:
Aufgabe 1 Lösung
gegeben:Â a = 3,2 cmÂ
gesucht: a) die Höhe ha   b) Fläche (A)   c) Umfang (U)
Aufgabe 2 Lösung
Gleichseitiges Dreieck a = 8,4 cmÂ
a) Höhe ha = ?Â
b) Inkreis und Umkreisradius ?Â
Aufgabe 3 Lösung
gegeben: gleichseitiges Dreieck mit einem Flächeninhalt von 320 cm²
gesucht: a) Seitenkante a = ?  b) Höhe ha = ?   c) Umfang = ?
gleichseitiges Dreieck Ãœbungen:
gleichseitiges Dreieck VideosÂ
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