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Gleichschenkliges Dreieck | Überblick

Gleichschenkliges Dreieck


Hier erhältst du eine Lerneinheit zum Thema: gleichschenkligen Dreieck 

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten und Winkeln.

Lerneinheiten: Tests | Übung | Aufgaben | 10 Fragen | Übungsblätter | Merkblatt | Dreiecke

 

Gleichschenkliges Dreieck

Bezeichnungen: 

Eckpunkte: A, B und C

Seitenlängen: Basis c und Schenkel a, b

Flächenhöhen: ha, hb und hc

Winkel: α (alpha), ß (beta) und γ (gamma)

r = Inkreisradius 

R = Umkreisradius

 

Formeln:


Flächeninhalt und Umfang:

Flächeninhalt: A = a • ha : 2  

Flächeninhalt: A = c • h: 2

Umfang: U = 2 • a + c

 

Inkreisradius:  
 
r = c • hc
     2 • a + c
 
oder r² = R² – (a/2)²
 
 
Umkreisradius:
 
R =           a²        
           √(4a² – c²)
 
 
oder Sinussatz:
 
R =         a         =        b        =       c      
       (2 • sin α)      (2 • sin β)     (2 • sin γ) 
 

Pythagoras:

a² = hc² + (c/2)² 

hc² = a² – (c/2)² 

(c/2)² =  a² – hc²

Eigenschaften:


Fläche:

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten.

Die beiden gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel, die dritte als Basis.

Die Schenkel a und b sind gleich lang.

Das Geodreieck ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck (α, β = 45° und γ = 90°).

 

Winkel:

Alle drei Innenwinkel ergeben zusammen 180°.

Es ist ein Dreieck mit zwei gleich großen Winkeln. 

Die beiden Basiswinkel alpha (α) und beta (β) sind gleich groß. 

Die Höhe hc halbiert die Basis c und den Winkel gamma (γ).

 

Symmetrieachse, In- und Umkreis

Das gleichschenklige Dreieck besitzt eine Symmetrieachse. 

Die Höhe hc ist die Symmetrieachse des Dreiecks.

Die merkwürdigen Punkte (H, I, U, S) liegen alle auf der Symmetrieachse (Höhe hc). 

Das gleichschenklige Dreieck hat einen Inkreis und einen Umkreis.

 

Flächeninhalt und Umfang:

Der Flächeninhalt wird berechnet, indem wir das Produkt der jeweiligen Seitenhöhe mit ihrer Seite halbieren. 

Der Umfang wird berechnet, indem wir alle drei Seitenlängen addieren. 

 

Formeln Umkehraufgaben:


Flächeninhaltsformel: A = a • ha : 2

⇒ a = 2 • A : ha

⇒ ha = 2 • A : a

 

Flächeninhaltsformel: A = c • hc : 2

⇒ c = 2 • A : hc

⇒ hc = 2 • A : c

 

Umfang: U = 2 • a + c

⇒ c = U – 2 • a

⇒ a = (U – c) : 2

 

Beispiel:


Gleichschenkliges Dreieck:

c = 14 cm, hc = 9 cm, a = 11,4 cm, ha = 11,1 cm

a) Berechne den Flächeninhalt auf zwei Arten   b) Berechne den Umfang

Gleichschenkliges Dreieck Skizze

 

a) Flächeninhalt mit hc:

A = c • hc : 2          

A = 14 • 9 : 2 

A = 63 cm²   

A: Der Flächeninhalt beträgt 63 cm².

a) Flächeninhalt mit ha:

A = c • hc : 2          

A = 11,4 • 11,1 : 2 

A = 63 cm² (gerundet)

A: Der Flächeninhalt beträgt 63 cm².

 

b) Umfang

U = 2 • a + c 

U = 2 • 11,4 + 14 

U = 36,8 cm

A: Der Umfang beträgt 36,8 cm.