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Kurvendiskussion lokale und globale Extremstellen

Kurvendiskussion lokale und globale Extremstellen:


 Kurvendiskussion lokale ExtremstellenAbb. Wikipedia 
 
 

Definition:
 
Ein lokales Maximum/Minimum ist der Wert einer Funktion f (x) an einer Stelle (x), in deren Umgebung die Funktion keine größeren oder kleineren Werte annimmt. 
 
Der Graph muss zudem an jedem relativen Extrempunkt eine waagrechte Tangente vorweisen.
 
In anderen Worten, die Steigung muss gleich null sein. 
 
Berechnung:
 
Berechnung der x-Koordinate:  f´(x) = 0
 
Berechnung der y-Koordinate: Der x-Wert wird in die Grundfunktion f (x) eingesetzt.
 

Hoch- oder Tiefpunkt:


1. Möglichkeit: x0 einsetzen in  f ´´(x) 
 
Um zu überprüfen, ob es sich bei der Extremstelle um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, wird der x-Wert wird in die 2. Ableitung eingesetzt und wenn f´´ (x0) ≠ 0 gilt:
 
f´´ (x0) < 0 ⇒ f hat bei x0 einen Hochpunkt (lokales Maximum)
 
f´´ (x0) > 0 ⇒ f hat bei x0 einen Tiefpunkt (lokales Minimum)
 
Bemerkung: alle gefundenen Lösungen von f´ (0) werden als x0 bezeichnet. 
 
 
2. Möglichkeit: Vorzeichenwechsel
 
Extrempunkte zeichnen sich auch dadurch aus, das sich hier das Vorzeichen beim Einsetzen des x-Wertes in die erste Ableitung vor und nach der Extremstelle ändert: 

Hochpunkt = Vorzeichen vor der Extremstelle ein + und dahinter ein –

 z.B. 

x 0,5 1 1,5
f ‘(x) + 0


Tiefpunkt
  = Vorzeichen vor der Extremstelle ein – und dahinter ein +

x 0,5 1 1,5
f ‘(x) 0 +

 

Globale Extremstellen:


Ein globales Maximum bzw. globales Minimum liegt hingegen vor, wenn beim Vergleich aller gefundenen Hoch- und Tiefpunkte jeweils das höchste und tiefste lokale Maximum definiert wird (siehe Abbildung oben).

 

Beispiel:


Berechne von folgender Funktion die lokalen Extremstellen:
 
f (x)  = –1/4x³ + 3/2x²  / * 4
 
1. Schritt: Wir ermitteln die 1. Ableitung 
 
f´(x) = – 3/4x² + 3x
 
2. Schritt: Wir setzen die Gleichung gleich null
 
0 = – 3/4x² + 3x   
 
3. Schritt: Wir machen die Gleichung nennerfrei
 
0 = – 3/4x² + 3x   / * 4
 
4. Schritt: Wir spalten die Gleichung auf
 
0 = – 3x² + 12x
 
0 = x * (- 3x + 12)
 
5. Schritt: Wir berechnen die 1. Extremstelle
 
d.f. x1 = 0
 
Ermittlung des y-Wertes:
 
f (0) = 0
 
f ´´ (0) = 3 
 
Hochpunkt oder Tiefpunkt?
 
⇒ f´´ (0) > 0 
 
⇒ Tiefpunkt (lokales Minimum)   T (0/0)
 
6. Schritt: Wir berechnen die 2. Extremstelle 
 
d.f. 0 = – 3x + 12  / + 3x
 
3x = 12 / : 3
 
x2 = 4  
 
Ermittlung des y-Wertes:
 
f (4) = 8
 
Hochpunkt oder Tiefpunkt?
 
f´´ (4) = – 3
 
⇒ f´´ (0) < 0 
 
⇒  Hochpunkt  (lokales Maximum)  H (4/8)
 
7. Schritt: Graph mit T und H
 

Lokales Maximum