Aufgabe: Hochpunkt und Tiefpunkt bestimmen Übung
1. Wie wird die x-Koordinate einer Extremstelle berechnet?
2. Wie wird die y-Koordinate einer Extremstelle berechnet?
3. Wie überprüfen wir, ob ein Extremstelle vorliegt?
4. Wann liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor?
5. Wann liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor?
6. Extrempunkte zeichnen sich auch dadurch aus?
7. Wie ändert sich das Vorzeichen bei einem Hochpunkt?
8. Wie ändert sich das Vorzeichen bei einem Tiefpunkt?
Lösung: Hochpunkt und Tiefpunkt bestimmen Übung
1. Die x-Koordinate einer Extremstelle wird berechnet, indem die erste Ableitung gleich Null gesetzt wird: f´(x) = 0
2. Die y-Koordinate einer Extremstelle wird berechnet, indem der x-Wert der Extremstelle in die Grundfunktion f (x) eingesetzt wird.
3. Der berechnete x-Wert der 1. Ableitung (x0) wird in die 2. Ableitung eingesetzt und wenn f´´ (x0) ≠ 0 gilt, dann liegt eine Extremstelle vor.
4. f´´ (x0) < 0 ⇒ f hat bei x0 einen Hochpunkt (lokales Maximum)
5. f´´ (x0) > 0 ⇒ f hat bei x0 einen Tiefpunkt (lokales Minimum)
6. Extrempunkte zeichnen sich auch dadurch aus, das sich hier das Vorzeichen beim Einsetzen des x-Wertes in die erste Ableitung vor und nach der Extremstelle ändert.
7. Hochpunkt = Vorzeichen vor der Extremstelle ein + und dahinter ein –
| x | 0,5 | 1 | 1,5 |
| f ‘(x) | + | 0 | – |
8. Tiefpunkt = Vorzeichen vor der Extremstelle ein – und dahinter ein +
| x | 0,5 | 1 | 1,5 |
| f ‘(x) | – | 0 | + |