Skizze des allgemeinen Dreiecks:


 

Eigenschaften:


Eigenschaften der Seiten:

Ein allgemeines Dreieck besteht aus drei unterschiedlich langen Seiten.

Die Begrenzungslinien bezeichnet man als die Seiten a, b und c

Die Gesamtlänge zweier Seiten eines Dreiecks ist immer größer oder gleich der Länge der dritten Seite. 

Die Seiten liegen den Eckpunkten jeweils gegenüber  (z.B. die Seite a liegt gegenüber dem Eckpunkt A).

 

Eigenschaften der Winkel:

Es ist ein Dreieck mit drei unterschiedlich großen Innenwinkeln.

Die Scheitel der Innenwinkel bezeichnet man als die Eckpunkte A, B und C

Die Winkelsumme aller 3 Innenwinkel ist 180°.

Dem größten Winkel liegt immer die längste Seite gegenüber.

Die Innenwinkel werden mit alpha (α) bei A, beta (β) bei B und gamma (γ) bei C bezeichnet.

 

Eigenschaften Bildung und merkwürdige Punkte: 

Man unterscheidet hinsichtlich der Bildung von Dreiecken die Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW und SSW (wobei S für Seite und W für Winkel steht). 

Jedes Dreieck hat einen Höhenschnittpunkt (H), einen Umkreismittelpunkt (U), einen Inkreismittelpunkt (I) und einen Schwerpunkt (S).

Die Eulersche Gerade verläuft durch die Punkte (H, U und S). 

 

Eigenschaften Flächeninhalt und Umfang:

Der Flächeninhalt wird berechnet, indem das Produkt von Seitenlänge und dazugehöriger Seitenhöhe halbiert wird. 

Der Umfang wird berechnet, indem all drei Seitenlängen addiert werden. 

 

Formeln des allgemeinen Dreiecks:


 
Flächeninhalt: A = a * ha : 2   
 
Flächeninhalt: A = b * hb : 2
 
Flächeninhalt: A = c * hc : 2
 
Umfang: U = a + b + c
 
Inkreisradius: ρ = 2 * A
                               U
 
Umkreisradius: r = a*b*c
                               4*A
 

Formeln für Umkehraufgaben:


Flächeninhaltsformel: A = a * ha : 2
⇒ a = 2 * A : ha
⇒ ha = 2 * A : a
 
Flächeninhaltsformel: A = b * hb : 2
⇒ b = 2 * A : hb
⇒ hb = 2 * A : b

Flächeninhaltsformel: A = c * hc : 2
⇒ c = 2 * A : hc
⇒ hc = 2 * A : c
 
Umfang: U = a + b + c
⇒ a = U - b - c
⇒ b = U - a - b
⇒ c = U - a - b
 
Inkreis: ρ = 2 * A : U
⇒ A = ρ * U : 2
⇒ U = 2 * A : ρ
 
Umkreis: r = a*b*c
                    (4*A)
 
⇒ A = a * b * c
            (4 * r)
 
⇒ a = 4 * A * r
           (b * c) 
 
⇒ b = 4 * A * r
           (a * c) 
 
⇒ c = 4 * A * r
           (a * b) 
 

Beispiel:


Eine dreieckige Grundfläche mit c = 28 m und einer Höhe hc von 15 m wird verkauft.
a) Flächeninhalt   b) Wie viel € sind zu bezahlen, wenn 1 m²  120,- € kostet?

a) Flächeninhalt:

A = c * hc : 2

A = 28 m * 15 m : 2

A = 210 m²

A: Der Flächeninhalt beträgt 210 m².

b) Preis:

Preis: Fläche * Preis pro m²

Preis: 210 * 120 €

Preis: 25 200,- €

A:  Es sind insgesamt € 25 200,- zu bezahlen.