Allgemeines Dreieck:

1. Skizze:

 

 

2. Eigenschaften eines allgemeinen Dreiecks:
 
Ein allgemeines Dreieck besteht aus drei unterschiedlich langen Seiten.
 
Es ist ein Dreieck mit  drei unterschiedlich großen Innenwinkeln.
 
Die Scheitel der Innenwinkel bezeichnet man als die Eckpunkte A, B und C
 
Die Winkelsumme aller 3 Innenwinkel ist 180°.
 
Die Begrenzungslinien bezeichnet man als die Seiten a, b und c
 
Die Gesamtlänge zweier Seiten eines Dreiecks ist immer größer oder gleich der Länge der dritten Seite. 
 
Die Seiten liegen den Eckpunkten jeweils gegenüber  (z.B. die Seite a liegt gegenüber dem Eckpunkt A).
 
Dem größten Winkel liegt immer die längste Seite gegenüber.
 
Man unterscheidet die Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW und SSW (wobei S für Seite und W für Winkel steht). 
 
Jedes Dreieck hat einen Höhenschnittpunkt (H), einen Umkreismittelpunkt (U), einen Inkreismittelpunkt (I) und einen Schwerpunkt (S).
 
Die Innenwinkel werden mit alpha (α) bei A, beta (β) und gamma (γ) bei C bezeichnet.
 
Die Eulersche Gerade verläuft durch die Punkte (H, U und S). 

 

3. Formeln des allgemeinen Dreiecks:
 
Flächeninhalt: A = a * ha : 2   
 
Flächeninhalt: A = b * hb : 2
 
Flächeninhalt: A = c * hc : 2
 
Umfang: U = a + b + c
 
Inkreisradius: ρ = 2 * A
                               U
 
Umkreisradius: r = a*b*c
                               4*A

 

4. Formeln für Umkehraufgaben:
 
Flächeninhaltsformel: A = a * ha : 2
 
⇒ a = 2 * A : ha
 
⇒ ha = 2 * A : a
 
Flächeninhaltsformel: A = b * hb : 2
 
⇒ b = 2 * A : hb
 
⇒ hb = 2 * A : b

Flächeninhaltsformel: A = c * hc : 2
 
⇒ c = 2 * A : hc
 
⇒ hc = 2 * A : c
 
Umfang: U = a + b + c
 
⇒ a = U - b - c
 
⇒ b = U - a - b
 
⇒ c = U - a - b
 
Inkreis: ρ = 2 * A : U
 
⇒ A = ρ * U : 2
 
⇒ U = 2 * A : ρ
 
Umkreis: r = a*b*c
                    (4*A)
 
⇒ A = a * b * c
            (4 * r)
 
⇒ a = 4 * A * r
           (b * c) 
 
⇒ b = 4 * A * r
           (a * c) 
 
⇒ c = 4 * A * r
           (a * b) 

 

4. Aufgabe:

Eine dreieckige Grundfläche mit c = 28 m und einer Höhe hc von 15 m wird verkauft.
a) Flächeninhalt   b) Wie viel € sind zu bezahlen, wenn 1 m²  120,- € kostet?
 
 
a) Flächeninhalt:
 
A = c * hc : 2
 
A = 28 m * 15 m : 2
 
A = 210 m²
 
A: Der Flächeninhalt beträgt 210 m².
 
 
b) Preis:
 
Preis: Fläche * Preis pro m²
 
Preis: 210 * 120 €
 
Preis: 25 200,- €
 
A:  Es sind insgesamt € 25 200,- zu bezahlen.